Подготовка к ЕГЭ: Занятие элективного курса в 10 классе «Нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге»

Здравствуйте! Мы продолжаем нашу подготовку к успешной сдаче ЕГЭ Продолжаем, начатый разговор на прошлом занятии, и Тема нашего сегодняшнего занятия «Нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге».

Знания по этой теме имеют прикладное значение.

— Как вы думаете, где, в повседневной жизни может возникнуть подобная задача

Если эта площадь представляет собой площадь прямоугольника или квадрата, то больших проблем не возникнет. Ну, а если возникнет необходимость вычисления площади в виде невыпуклого девятиугольника…

И вот сегодня мы будем решать подобные задачи, закрепим изученные и познакомимся с новыми способами вычисления площадей фигур, изображённых на клетчатой бумаге. Мы рассмотрим некоторые задания В5 (в новой версии КИМов ЕГЭ), а также познакомимся с наиболее универсальным и красивым способом вычисления площадей.

1. Повторение (групповая работа). Решение задач с использованием основных формул планиметрии

К сегодняшнему занятию вам нужно было повторить формулы для нахождения площадей плоских фигур, изученных в курсе планиметрии и изученный, пока только один, метод вычисления площадей фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

— Напомните, в чём он заключается?

А если целого количества клеточек не сосчитать? можно воспользоваться формулами планиметрии, определив вид данной фигуры.(две стороны параллельны, значит — фигура — трапеция) Посчитать количество клеточек оснований и высоты, подставить нужные значения в формулу и посчитать.

— Площади каких многоугольников мы можем вычислять с помощью наиболее известных формул, которые нам могут встретиться в ЕГЭ?

«Математическое лото, но НАОБОРОТ»

С игрой «лото», я думаю, вы знакомы. На столах каждой группы и на доске — карта разделённая на прямоугольники. Почему наоборот. В обычной игре необходимо закрыть карточками числа, а вы, решив задачу из Открытого банка заданий по математике, оформите краткое решение в тетрадь, найдёте нужный вам ответ, и только когда вся группа разберётся в решении задачи, поднимаете руки. И мы открываем, а не закрываем число. (С комментариями)

Все старались, молодцы. Но победила группа, которой удалось правильно и быстро решить … задания математического лото

2. Практическая работа: использование метода дополнительного построения (достраивания)

Мы вспомнили и закрепили один из способов решения задач на использование формул планиметрии, когда нужные нам элементы для формулы располагаются прямо на клетчатой бумаге (решётке). А что делать, если нужные элементы для формулы не лежат на клетках или вовсе — фигура дана нестандартная, т.е. не трапеция, не параллелограмм, не треугольник. И тем не менее нужно найти площадь этой фигуры. В результате предыдущей работы — математическое лото — у вас получилась именно такая фигура.

ЗАДАЧА 1 (достраивание)

(в конверте — задание каждому — с обратной стороны — двусторонний скотч, чтоб приклеить в тетрадь)

Есть ли какие-то идеи по решению данной задачи?

Воспользуемся дополнительным построением и достроим его, например, до прямоугольника.

Из чего состоит данный прямоугольник — из интересующего нас 4-хуг., из 4 треугольн.. Каждый треугольник — прямоугольный, поэтому площадь равна половине произведения катетов. (1 человек под камерой)

Таким образом, чтоб найти площадь нашей фигуры, мы должны из площади прямоугольника вычесть площади этих треугольников.

Мы рассмотрели два метода решения задач — использование формул и достраивание (дополнительное построение).

3. Самостоятельная работа в группах (достраивание)

ЗАДАЧА 2 (сам.раб.)

(даны большие листы на группу)

Дан невыпуклый четырёхугольник

Площадь которого по формулам мы найти тоже не можем. Но можем воспользоваться одним изученных универсальных способов — достраивание.

Найдите площадь данного многоугольника изученным способом — достраивание

Самостоятельная работа, с последующей проверкой через камеру. (У одной из групп — достраивание до прямоугольника, у кого-то до треугольника )

4. Практическая работа: использование метода разрезания(или разбиения)

В конверте — очередное задание на нахождение площади. (В конверте задания на скотче — для последующего вклеивания в тетрадь). Существует ещё один способ решения данной задачи. Может есть идеи? Он в некотором смысле противоположен методу достраивания — метод наоборот, разбиения или разрезания.

ЗАДАЧА 3 (разрезание)

— Что можно предпринять? Разобьём эту фигуру на два треугольника, проведя отрезок. Найдём площадь каждого из треугольников. Левый треугольник. Если взять за основание этот отрезок, то площадь равна половине произведения основания =2 на высоту, проведённую к прямой, содержащую основание тупоугольного треугольника. Аналогично правый треугольник.

Идея состоит в том, чтобы разбить данную нам фигуру на более простые, площади которых мы можем вычислить по формулам.

5. Защита исследовательского проекта «Формула Пика»

Мы рассмотрели три метода решения задач — использование формул, достраивание и разрезание.

Над исследовательским проектом по теме «Нахождение площадей» работала … И сейчас расскажет нам о самом интересном и новом, наиболее универсальном способе нахождения площадей многоугольников на клетке.

«Изучая различные способы решения задач на нахождение площадей, я, во-первых узнала новое имя из истории математики и убедилась, что существует ещё один, метод вычисления площадей многоугольников, он не входит в школьную программу (в Германии — входит), но он ОЧЕНЬ прост и КРАСИВ! Я считаю настоящей жемчужиной своего исследования формулу Пика для вычисления площади многоугольника с целочисленными вершинами. Формула так названа в честь австрийского математика Пика, который открыл ее в 1899 году.

В чём состоит формула Пика. Линии, идущие по сторонам клеток, образуют клетчатую решётку, а вершины клеток — узлы этой решётки. (запишите формулу)

Разберём пример на формулу Пика. И вы сами сможете оценить красоту и простоту этого метода.

ЗАДАЧА 4 ( на чертеже задачи 1)

Нам дан четырёхугольник, знакомый нам по решению ЗАДАЧИ 1 (на достраивание). Решим по формуле Пика. (все работают в тетрадях)

1. Посчитаем количество (узлов) точек, на сторонах многоугольнка, и разделим пополам (их 5, мы берём только те точки, которые находятся на пересечении линий нашей решётки) Записываем …

2. Посчитаем количество узлов, которые находятся внутри фигуры (их7)

3. И вычитаем единицу

4. 2,5+7-1=8,5

Сравним этот ответ с решением задачи 1, на достраивание до прямоугольника. Способы дают один и тот же результат.

На самом деле формула Пика это самый универсальный метод, потому что он действительно абсолютно не зависит от той фигуры, которая нам дана. Поэтому я всем рекомендую данный способ запомнить.

Спасибо, а я хочу заметить, что из формулы Пика следует очень важный факт.

Ведь, чему равна площадь?

(Половина количества точек на границе, плюс количество точек внутри минус 1)

Заметьте, что количество точек (узлов) внутри и количество узлов (точек) на границе — число целое. Значит, площадь может получиться либо целым числом, либо полуцелым. Поэтому, скажем, если площадь у вас получилась, к примеру, равной 13,25, значит, скорее всего, вы где-то обсчитались.

Закрепление: (устно по слайду)

6. Решение задач «Открытого банка заданий по математике»

Комментарии одного из учащихся групп№ 27548, № 5319, № 244995

7. Подведение итогов

Рефлексия деятельности — цветные листочки для групп

Заканчивая занятие, я хочу вас спросить:

Какими способами можно вычислить площади различных многоугольников?

Какой из перечисленных наиболее интересен для вас?

Попрошу вас принять участие в анкетировании, которое позволит осуществить самоанализ, дать оценку деятельности.

Выберите фразы, характеризующие вашу работу на уроке:

  1. На уроке я работал, отдыхал, помогал другим.
  2. В итоге я всё понял, узнал больше, чем знал, ничего не понял.
  3. Своей работой на уроке я доволен, не доволен.

Надеюсь, что знания, умения и навыки, полученные на нашем занятии, обязательно пригодятся вам в жизни. Теперь, вам по силам площадь любого участок даже самой нестандартной формы. И каждый для себя выберет тот способ, который понравился больше всего.

Домашнее задание

Решить задачи №
из открытого банка задач . Право выбора метода нахождения площади — за вами!

Повторить формулы нахождения площади круга, площади сектора.

«Решение задач — практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим
образцам и постоянно практикуясь» Д. Пойя

На сайтах официальных разработчиков ЕГЭ подобрано немало задач, и вы сможете потренироваться в решении.

Автор: Павликова Елена Владимировна
Должность: учитель математики
Место работы: Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Дятьковская средняя общеобразовательная школа № 5 Дятьковского района
Месторасположение: г. Дятьково, Брянская область



Опубликовано в разделах:



VK
OK
Facebook
Twitter
WhatsApp


Оставьте комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *